多元函数极值@条件极值
多元函数条件极值
- 上面所讨论的极值问题,对于函数的自变量,除了限制在函数的定义域内以外,并无其他条件,所以有时候称为无条件极值.
- 但在实际问题中,有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题.
- 例如,求表面积为a而体积为最大的长方体的体积问题.设长方体的三棱的长为 x , y , z x,y,z x,y,z则体积 V = x y z . V= xyz. V=xyz.又因假定表面积为 a 2 a^2 a2,所以自变量 x , y , z x,y,z x,y,z还必须满足附加条件 2 ( x y + y z + x z ) = a 2 2(xy + yz + xz) = a^2 2(xy+yz+xz)=a2.
- 像这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值.
条件极值转为无条件极值
- 对于有些实际问题,可以把条件极值化为无条件极值,然后利用第一目中的方法加以解决.例如上述问题,可由条件
2
(
x
y
+
y
z
+
x
z
)
=
a
2
2( xy + yz +xz) = a^2
2(xy+yz+xz)=a2,将
z
z
z表示成(展开合并同类项移项可得)
- z = a 2 − 2 x y 2 ( x + y ) z=\frac{a^2-2xy}{2(x+y)} z=2(x+y)a2−2xy,将其代入 V = x y z V=xyz V=xyz,得 V = x y 2 ( a 2 − 2 x y 2 ( x + y ) ) V=\frac{xy}{2}(\frac{a^2-2xy}{2(x+y)}) V=2xy(2(x+y)a2−2xy)的无条件极值
极值必要条件
- 很多情形下,条件极值化为无条件极值不容易,需要寻找新的途径求解条件极值
- 这种方法称为Lagrange乘数法
-
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y)
(1)在条件 ϕ ( x , y ) = 0 \phi(x,y)=0 ϕ(x,y)=0(2)下取得极值的必要条件是什么?- 设函数(1)在
P
0
(
x
0
,
y
0
)
P_{0}(x_0,y_0)
P0(x0,y0)处取得所求的极值,则
ϕ
(
x
0
,
y
0
)
=
0
\phi(x_0,y_0)=0
ϕ(x0,y0)=0
(3) - 假定在 P 0 P_0 P0的某一邻域内 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)与 ϕ ( x , y ) \phi(x,y) ϕ(x,y)均有连续的一阶偏导数,而 ϕ y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 \phi_{y}(x_0,y_0)\neq{0} ϕy(x0,y0)=0
- 由隐函数存在定理,方程(2)确定一个连续且具有连续导数的函数
y
=
ψ
(
x
)
y=\psi(x)
y=ψ(x)
(3-1) - 将式(3-1)代入(1),得到一个一元函数
z
=
f
(
x
,
ψ
(
x
)
)
z=f(x,\psi(x))
z=f(x,ψ(x))
(4) - 于是二元函数(1)在 P 0 P_0 P0取得所求的极值相当于一元函数(4)在 x = x 0 x=x_0 x=x0处取得极值
- 由一元可导函数取得极值的必要条件,
z
x
∣
x
=
x
0
=
0
z_{x}|_{x=x_0}=0
zx∣x=x0=0
(5),即 f x ( x 0 , y 0 ) + f y ( x 0 , y 0 ) y x ∣ x = x 0 = 0 f_{x}(x_0,y_0)+f_{y}(x_0,y_0)y_{x}|_{x=x_0}=0 fx(x0,y0)+fy(x0,y0)yx∣x=x0=0(5-1) - 而由方程(2),用隐函数求导公式,
y
x
∣
x
=
x
0
y_{x}|_{x=x_0}
yx∣x=x0=
−
ϕ
x
(
x
0
,
y
0
)
ϕ
y
(
x
0
,
y
0
)
-\frac{\phi_{x}(x_0,y_0)}{\phi_{y}(x_0,y_0)}
−ϕy(x0,y0)ϕx(x0,y0)
(5-2)把上式代入(5-1),得-
f
x
(
x
0
,
y
0
)
−
f
y
(
x
0
,
y
0
)
ϕ
x
(
x
0
,
y
0
)
ϕ
y
(
x
0
,
y
0
)
=
0
f_{x}(x_0,y_0)-f_{y}(x_0,y_0)\frac{\phi_{x}(x_0,y_0)}{\phi_{y}(x_0,y_0)}=0
fx(x0,y0)−fy(x0,y0)ϕy(x0,y0)ϕx(x0,y0)=0
(6)
-
f
x
(
x
0
,
y
0
)
−
f
y
(
x
0
,
y
0
)
ϕ
x
(
x
0
,
y
0
)
ϕ
y
(
x
0
,
y
0
)
=
0
f_{x}(x_0,y_0)-f_{y}(x_0,y_0)\frac{\phi_{x}(x_0,y_0)}{\phi_{y}(x_0,y_0)}=0
fx(x0,y0)−fy(x0,y0)ϕy(x0,y0)ϕx(x0,y0)=0
- 式(3),(6)就是函数(1)在条件(2)下在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)取得极值得必要条件
- 设函数(1)在
P
0
(
x
0
,
y
0
)
P_{0}(x_0,y_0)
P0(x0,y0)处取得所求的极值,则
ϕ
(
x
0
,
y
0
)
=
0
\phi(x_0,y_0)=0
ϕ(x0,y0)=0
- 变形条件(6)
- 设
−
f
y
(
x
0
,
y
0
)
1
ϕ
y
(
x
0
,
y
0
)
-f_{y}(x_0,y_0)\frac{1}{\phi_{y}(x_0,y_0)}
−fy(x0,y0)ϕy(x0,y0)1=
λ
\lambda
λ
(6-1),变形即有 f y ( x 0 , y 0 ) + λ ϕ y ( x 0 , y 0 ) = 0 f_{y}(x_0,y_0)+\lambda\phi_{y}(x_0,y_0)=0 fy(x0,y0)+λϕy(x0,y0)=0(6-2) - 且式(6)改写为
f
x
(
x
0
,
y
0
)
+
λ
ϕ
x
(
x
0
,
y
0
)
=
0
f_{x}(x_0,y_0)+\lambda\phi_{x}(x_0,y_0)=0
fx(x0,y0)+λϕx(x0,y0)=0
(6-3)
- 设
−
f
y
(
x
0
,
y
0
)
1
ϕ
y
(
x
0
,
y
0
)
-f_{y}(x_0,y_0)\frac{1}{\phi_{y}(x_0,y_0)}
−fy(x0,y0)ϕy(x0,y0)1=
λ
\lambda
λ
- 将上述必要条件整理,得方程组
(7)- f x ( x 0 , y 0 ) + λ ϕ x ( x 0 , y 0 ) = 0 f_{x}(x_0,y_0)+\lambda\phi_{x}(x_0,y_0)=0 fx(x0,y0)+λϕx(x0,y0)=0
- f y ( x 0 , y 0 ) + λ ϕ y ( x 0 , y 0 ) = 0 f_{y}(x_0,y_0)+\lambda\phi_{y}(x_0,y_0)=0 fy(x0,y0)+λϕy(x0,y0)=0
- ϕ ( x 0 , y 0 ) = 0 \phi(x_0,y_0)=0 ϕ(x0,y0)=0
- 引进辅助函数
L
(
x
,
y
)
=
f
(
x
,
y
)
+
λ
ϕ
(
x
,
y
)
L(x,y)=f(x,y)+\lambda\phi(x,y)
L(x,y)=f(x,y)+λϕ(x,y)
(8),则(7-1,7-2)分别为 L x ( x 0 , y 0 ) = 0 L_{x}(x_0,y_0)=0 Lx(x0,y0)=0(9-1); L y ( x 0 , y 0 ) = 0 L_{y}(x_0,y_0)=0 Ly(x0,y0)=0(9-2) - 辅助函数 L ( x , y ) L(x,y) L(x,y)也称为Lagrange函数,参数 λ \lambda λ称为Lagrange乘子
拉格朗日乘数法
- 要找到函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y)
(1)在附加条件 ϕ ( x , y ) = 0 \phi(x,y)=0 ϕ(x,y)=0(2)下的可能极值点,可以线作Lagrange函数: L ( x , y ) L(x,y) L(x,y)= f ( x , y ) + λ ϕ ( x , y ) f(x,y)+\lambda\phi(x,y) f(x,y)+λϕ(x,y)= f + λ ϕ f+\lambda\phi f+λϕ,其中 λ \lambda λ为参数 - 求其对
x
,
y
x,y
x,y的一阶偏导数,并令它们为0,在和条件方程联立:
- f x + λ ϕ x = 0 f_{x}+\lambda\phi_{x}=0 fx+λϕx=0
- f y + λ ϕ y = 0 f_{y}+\lambda\phi_{y}=0 fy+λϕy=0
- ϕ = 0 \phi=0 ϕ=0
- 有此方程组解出 x , y , λ x,y,\lambda x,y,λ,得到的 ( x , y ) (x,y) (x,y)就是函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在附加条件(2)下的可能极值点
推广
- Lagrange乘数法可以推广到自变量多于2个,附加条件多于1个的情形
- 例如求
u
=
f
(
x
,
y
,
z
,
t
)
u=f(x,y,z,t)
u=f(x,y,z,t)在附加条件
ϕ
(
x
,
y
,
z
,
t
)
=
0
\phi(x,y,z,t)=0
ϕ(x,y,z,t)=0,
ψ
(
x
,
y
,
z
,
t
)
=
0
\psi(x,y,z,t)=0
ψ(x,y,z,t)=0下的极值
- 此时构造的Lagrange函数为 L ( x , y , z , t ) L(x,y,z,t) L(x,y,z,t)= f ( x , y , z , t ) + λ ϕ ( x , y , z , t ) + μ ψ ( x , y , z , t ) f(x,y,z,t)+\lambda\phi(x,y,z,t)+\mu{\psi(x,y,z,t)} f(x,y,z,t)+λϕ(x,y,z,t)+μψ(x,y,z,t)
- 参数 λ , μ \lambda,\mu λ,μ也可以用记号 λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ1,λ2表示
- 求Lagrange函数 L L L的各个一阶偏导并令它们为0,再来联立两个条件方程,求出 ( x , y , z , t ) (x,y,z,t) (x,y,z,t),就是可能是所求的极值点
应用
例
- 求表面积为
a
2
a^2
a2而体积为最大的长方体的体积
- 设长方体的三棱分别为
x
,
y
,
z
x,y,z
x,y,z,体积函数为
V
=
x
y
z
V=xyz
V=xyz,
(
x
,
y
,
z
>
0
)
(x,y,z>0)
(x,y,z>0),
(1) - 定义域之外的附加条件为
2
(
x
y
+
y
z
+
z
x
)
=
a
2
2(xy+yz+zx)=a^2
2(xy+yz+zx)=a2
(2),用方程一般形式表示:令 ϕ ( x , y , z ) \phi(x,y,z) ϕ(x,y,z)= 2 ( x y + y z + z x ) − a 2 2(xy+yz+zx)-a^2 2(xy+yz+zx)−a2=0 - 这是一个含3个自变量和一个附加条件的极值问题
- 构造Lagrange函数为 L ( x , y , z ) L(x,y,z) L(x,y,z)= V + λ ϕ V+\lambda{\phi} V+λϕ= x y z + λ ( 2 ( x y + y z + z x ) − a 2 ) xyz+\lambda(2(xy+yz+zx)-a^2) xyz+λ(2(xy+yz+zx)−a2)
- 分别求偏导并令他们为0:得方程组
(3)- L x L_{x} Lx= y z + 2 λ ( y + z ) yz+2\lambda(y+z) yz+2λ(y+z)=0
- L y L_{y} Ly= x z + 2 λ ( x + z ) xz+2\lambda(x+z) xz+2λ(x+z)=0
- L z L_z Lz= x y + 2 λ ( y + x ) xy+2\lambda(y+x) xy+2λ(y+x)=0
- 再与条件(2)联立(可以表示为
L
λ
=
2
(
x
y
+
y
z
+
z
x
)
−
a
2
L_{\lambda}=2(xy+yz+zx)-a^2
Lλ=2(xy+yz+zx)−a2=0
- 对方程组(3)移项:
-
y
z
=
−
2
λ
(
y
+
z
)
yz=-2\lambda(y+z)
yz=−2λ(y+z);
(4-1) -
x
z
=
−
2
λ
(
x
+
z
)
xz=-2\lambda(x+z)
xz=−2λ(x+z);
(4-2) -
x
y
=
−
2
λ
(
y
+
x
)
xy=-2\lambda(y+x)
xy=−2λ(y+x)
(4-3)
-
y
z
=
−
2
λ
(
y
+
z
)
yz=-2\lambda(y+z)
yz=−2λ(y+z);
- 作式(4-1)比去(4-2),以及(4-1)比去(4-3)分别得:
- x y = x + z y + z \frac{x}{y}=\frac{x+z}{y+z} yx=y+zx+z; y z = x + y x + z \frac{y}{z}=\frac{x+y}{x+z} zy=x+zx+y,分别令这两个比值为 k 1 , k 2 k_1,k_2 k1,k2
- 由比例性质, k 1 = 1 , k 2 = 1 k_1=1,k_2=1 k1=1,k2=1,可得 x = y , y = z x=y,y=z x=y,y=z,
- 即得 x = y = z x=y=z x=y=z,代入(2),得 x = y = z = 6 6 a x=y=z=\frac{\sqrt{6}}{6}a x=y=z=66a
- 对方程组(3)移项:
- 设长方体的三棱分别为
x
,
y
,
z
x,y,z
x,y,z,体积函数为
V
=
x
y
z
V=xyz
V=xyz,
(
x
,
y
,
z
>
0
)
(x,y,z>0)
(x,y,z>0),
例
- 抛物面 z = x 2 + y 2 z=x^2+y^2 z=x2+y2被平面 x + y + z = 1 x+y+z=1 x+y+z=1截成一个椭圆 C C C,求该椭圆上的点到原点的距离的最值
- 仅作初步分析
- 建模:目标函数为 d = x 2 + y 2 + z 2 d=\sqrt{x^2+y^2+z^2} d=x2+y2+z2,可以转换为求 d 2 = x 2 + y 2 + z 2 d^2=x^2+y^2+z^2 d2=x2+y2+z2的最值
- 附加条件为 z = x 2 + y 2 z=x^2+y^2 z=x2+y2, x + y + z = 1 x+y+z=1 x+y+z=1
- Note:本例的目标式求距离最值,而不求椭圆 C C C方程,将构成椭圆的两个方程作为附加条件