如果 $f(x) \rightarrow \infty$ , $g(x) \rightarrow \infty$ , $\frac{f'(x)}{g'(x)} \rightarrow_{x\rightarrow a} L$ 成立，则 $\frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow_{x\rightarrow a} L$ , 其中 $a\rightarrow \pm \infty$ 或 $L \rightarrow \pm\infty$ 是允许的。

$f(x) \ll_{x\rightarrow \infty} g(x)$ 可以理解为 $\frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow_{x\rightarrow \infty} 0$ ， ( f,g > 0 )

函数值排序：

增长： $ln(x) \ll x^p \ll e^x \ll e^{x^2} \rightarrow_{x\rightarrow \infty, p>0} \infty$

函数值排序：

减小： $\frac{1}{ln(x)} \gg \frac{1}{x^p} \gg \frac{1}{ e^x} \gg\frac{1}{ e^{x^2} }\rightarrow_{x\rightarrow \infty, p>0} 0$

二、反常积分

1、基本概念

$\int_a^{\infty}f(x)dx = \lim_{N\rightarrow \infty}\int_{a} ^{N}f(x)dx$

如果这个积分极限存在(这个极限有限)，他就是收敛的(converges)，否则就是发散的(diverges)

函数的积分收敛的情况，也就是函数曲线到x轴的面积是有限的，否则这个曲线下的面积就是无限的

添加图片注释，不超过 140 字（可选）

2、例1

（1） $\int_0^{\infty} e^{-kx}dx$ ( k > 0 )

import numpy as np 
from sympy import *
import matplotlib.pyplot as plt 
figure, ax= plt.subplots( 1 ) 
ax.set_aspect( 1 ) 
def DrawXY1(xFrom,xTo,steps,expr,color,label,plt, arrow =False):
    yarr = []
    xarr = np.linspace(xFrom ,xTo, steps) 
    for xval in xarr:
        #print(expr.subs(x,xval), xval)
        yval = expr.subs(x,xval)
        yarr.append(yval)
    y_nparr = np.array(yarr) 
    x_nparr = np.array(xarr) 
    length = len (xarr)
    
    plt.plot(x_nparr, y_nparr, c=color, label=label)  
    if(arrow and steps > 2):
        plt.arrow(float(x_nparr[0]),float( y_nparr[0]),float( x_nparr[2]-x_nparr[0]),float( y_nparr[2]-y_nparr[0]), width=.02, color = color) 
        
def DrawXY(tFrom,tTo,steps,exprX,exprY, color,label,plt, arrow =False):
    xarr = []
    yarr = []
    tarr = np.linspace(tFrom ,tTo, steps) 
    for tval in tarr:
        xval = exprX.subs(t,tval)
        xarr.append(xval)
        yval = exprY.subs(t,tval)
        yarr.append(yval)
    y_nparr = np.array(yarr) 
    x_nparr = np.array(xarr) 
    length = len (xarr)
    
    plt.plot(x_nparr, y_nparr, c=color, label=label)  
    if(arrow and steps > 2):
        plt.arrow(float(x_nparr[0]),float( y_nparr[0]),float( x_nparr[2]-x_nparr[0]),float( y_nparr[2]-y_nparr[0]), width=.02, color = color) 


x = symbols('x')
k=2
expr = np.e**(-k**2*x)

DrawXY1( 0.1,4,50,expr,color='c', label=' e**(-k**2*x)',plt = plt, arrow = True)


plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

$\int_0^{N} e^{-kx}dx = -\frac{1}{k}e^{-kx}|_0^{N} = -\frac{1}{k}e^{-kN} - (-\frac{1}{k}) \rightarrow_{N\rightarrow \infty,k>0} \frac{1}{k}$

简便写法： $\int_0^{\infty} e^{-kx}dx = -\frac{1}{k}e^{-kx}|_0^{\infty} = -\frac{1}{k}e^{-\infty} - (-\frac{1}{k}) = 0 +\frac{1}{k} =\frac{1}{k}$

（2）放射性粒子的平均衰减度（概率相关）

在时间T内辐射出的粒子的总数= $\int_{0}^{T}Ae^{-kt}dt$ A代表某总数

所能辐射出的粒子的总数= $\int_{0}^{\infty}Ae^{-kt}dt = \frac{A}{k}$

3、例2 一个概率计算中重要的常量

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt \pi$

以上这些式子都是收敛的，从而告诉我们当遇到包含它们的式子时，我们能知道这些是有极限的

4、例3 1/x的p次幂（p>0）

（1）临界情况 p=1

$\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x}$

$\int_{1}^{N} \frac{dx}{x} = ln(x)|_{1}^{N} = ln(N) -0 \rightarrow_{n \rightarrow \infty} \infty$

所以这个积分是发散的

x = symbols('x')

expr = 1/x

DrawXY1( 1,50,50,expr,color='c', label='1/x',plt = plt, arrow = False)

expr = ln(x)
DrawXY1( 1,50,50,expr,color='r', label='ln(x)',plt = plt, arrow = False)

plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

（2）

$\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^p} =\frac{x^{-p+1}}{-p+1}|_{1}^{\infty} =\frac{\infty^{-p+1}}{-p+1} - \frac{1}{-p+1}$

当 0<p<1时

$\frac{\infty^{-p+1}}{-p+1} - \frac{1}{-p+1} \rightarrow_{0<p<1} \infty - \frac{1}{-p+1} = \infty$

当 p>1时

$\frac{\infty^{-p+1}}{-p+1} - \frac{1}{-p+1} \rightarrow_{p>1} 0 - \frac{1}{-p+1} = \frac{1}{p-1}$

（3）结论：式子 $\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^p}$ ，当 $p\leq1$ 时是发散的，而当 p >1 时是收敛的（ $=\frac{1}{p-1}$ ）

5、极限的比较

当 $x\rightarrow \infty$ , 如果 f(x) 和 g(x) 相似（ $f(x) \sim g(x)$ ） .....（means $\frac{f(x)}{g(x)}\rightarrow_{x\rightarrow \infty} 1$ ），

此时 $\int_{a}^{\infty} f(x)dx , \int_{a}^{\infty} g(x)dx$ （ a 取一个很大的值）同时收敛或同时发散

6、例4

$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^2 +10}}$

$\frac{1}{\sqrt{x^2 +10}} \sim \frac{1}{\sqrt{x^2}}$

$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^2 +10}} \sim \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^2 }} =\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x}$

结果是发散的，所以可以忽略有限的 $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x^2 +10}}$ ，这里不考虑 $\int_{0}^{1} \frac{dx}{x}$ 是因为这个式子是发散的和原式( $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x^2 +10}}$ )同条件下的结果有很大的不同。

7、例5

$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^3 +3}}$

$\frac{1}{\sqrt{x^3 +3}} \sim \frac{1}{\sqrt{x^3}} = x^{\frac{3}{2}}$

$\int_{10}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^3 +3}} \sim \int_{10}^{\infty} \frac{dx}{x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\frac{3}{2}-1} =2$ ( $\frac{3}{2} >1$ ，由例3结论 )

得出结论这个积分是收敛的

8、例2 - 续

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt \pi$

expr = np.e**(-x**2)
DrawXY1( -5,5,50,expr,color='r',label= '',plt = plt, arrow = False)
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

$e^{-x^2}$ 函数图形

这个图形 $e^{-x^2}$ 根据y轴对称

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx =2 \int_{0}^{\infty} e^{-x^2}$

做个比较

当 $x \geq 1 , -x^{-2} \leq -x$

$e^{-x^2} \leq e^{-x}$

所以有

$2 \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \leq 2\int_{0}^{1} e^{-x^2}dx+ 2\int_{1}^{\infty}e^{-x}dx$

由 $\int_{1}^{\infty}e^{-x}dx = -e^{-x}|_{1}^{\infty} = 0 + \frac{1}{e} = \frac{1}{e}$ ，

$2\int_{0}^{1} e^{-x^2}dx$ 是收敛的

可知 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx$ 是收敛的

9、反常积分的第二种类型

$\int_0^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}} , \int_0^{\infty} \frac{dx}{x},\int_0^{\infty} \frac{dx}{x^2}$

一般这些积分还是可以直接计算得到它们是收敛还是发散，但是老师提到了一个不一样的例子

错误 $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2} = -x^{-1} |_{-1}^{1} = -(1^{-1}) -(-(-1)^{-1}) = -1 -1 = -2$ 错误

而函数 $\frac{1}{x^2}$ 在(-1,1)区间的图形是这样的

expr = 1/(x**2)
DrawXY1( -1,-0.1,50,expr,color='r',label= '',plt = plt, arrow = False)
DrawXY1( 0.1,1,50,expr,color='r',label= '',plt = plt, arrow = False)
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

我个人觉得，这里不能直接计算这个积分，是因为在-1 到1 的范围内 x=0处是奇点，函数不连续。

个人觉得应该是这样计算，由于这个函数在y轴对称，

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2} = 2\int_{0^+}^{1} \frac{dx}{x^2} = -x^{-1}|_{0^+}^{1} = 2(-1 - (-\frac{1} {0^+}))=\infty$

一、洛必达法则复习

1、无限比无限的情况（ ）