数学 {达布定理}
数学 {达布定理}
@LOC: 1
达布定理
定义
条件: 函数在开区间
I
I
I上可导;
结论: 导函数
f
′
(
x
)
f'(x)
f′(x)在开区间
I
I
I上具有介值定理 (即:
f
′
(
I
)
f'(I)
f′(I)值域集合 是个区间);
相关定义
#推论#
如果
f
f
f在
I
I
I区间上可导, 且
f
′
(
x
)
f'(x)
f′(x)在
I
I
I上不连续 则
f
′
(
x
)
f'(x)
f′(x)在
I
I
I上的间断点 一定是震荡间断点;
证明 (反证法):
1: 不会是第一类间断点, 因为如果
f
′
(
x
0
−
)
,
f
′
(
x
0
+
)
f'(x_0 -), f'(x_0 +)
f′(x0−),f′(x0+)都存在 (注意这是前提), 因为导数代表趋势 而且函数在区间
I
I
I上连续, 他们三者 会是相同的 即:
f
′
(
x
0
−
)
=
f
′
(
x
0
+
)
=
f
′
(
x
0
)
f'(x_0 - ) = f'(x_0 + ) = f'(x_0)
f′(x0−)=f′(x0+)=f′(x0);
2: 不会是无穷间断点, 否定就不满达布定理里的介值定理了;
性质
错误
#函数f在区间
I
I
I上可导
⟹
\implies
⟹
f
′
(
x
)
f'(x)
f′(x)在区间
I
I
I上连续#
@MARK: @LOC_0;
这是错误的! 因为达布定理说*
f
′
(
I
)
f'(I)
f′(I)值域集合是个区间* 可不表明
f
′
(
x
)
f'(x)
f′(x)在
I
I
I上是连续的;
很容易觉得这是正确的 (因为
f
′
(
x
)
f'(x)
f′(x)在区间
I
I
I上有界 这是肯定的), 但有界 不代表 连续;
比如
f
(
x
)
=
x
2
∗
s
i
n
(
1
/
x
)
f(x)=x^2 * sin(1/x)
f(x)=x2∗sin(1/x)(补充定义
f
(
0
)
=
0
f(0) = 0
f(0)=0), 其在
[
−
1
,
1
]
[-1, 1]
[−1,1]上可导 (因为
f
′
(
0
)
=
lim
x
→
0
x
∗
s
i
n
(
1
/
x
)
=
0
f'(0) = \lim_{x \to 0} x * sin(1/x) = 0
f′(0)=limx→0x∗sin(1/x)=0);
. 但是他的导数为
2
x
∗
s
i
n
(
1
/
x
)
−
c
o
s
(
1
/
x
)
2x*sin(1/x) - cos(1/x)
2x∗sin(1/x)−cos(1/x),
f
′
(
0
−
)
=
f
′
(
0
+
)
=
2
−
c
o
s
(
1
/
x
)
f'(0-) = f'(0+) = 2 - cos(1/x)
f′(0−)=f′(0+)=2−cos(1/x)为震荡发散, 故
f
′
(
x
)
f'(x)
f′(x)在
0
0
0处 是震荡间断点;