用 C++ 实现线性拟合

简介

线性拟合是一种常见的数据分析方法，用于找到一条最佳拟合直线来描述数据点的趋势。在C++中，我们可以使用最小二乘法来实现线性拟合。最小二乘法是一种通过最小化残差平方和来拟合数据的方法。

 

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最小二乘法

最小二乘法是一种常用的拟合方法，它通过最小化实际观测值与拟合值之间的残差平方和来确定拟合直线的参数。在线性拟合中，我们假设拟合直线的公式为y = kx + b，其中k是斜率，b是截距。

1. 程序概述

我们的目标是编写一个程序，可以接受一组数据点作为输入，并使用最小二乘法来拟合一条直线。最小二乘法是一种常用的拟合方法，它通过最小化数据点到拟合直线的垂直距离的平方和来确定最佳拟合直线的参数。

2. 程序实现

2.1 数据输入

我们首先需要定义一个结构体来存储数据点的x和y坐标：

struct DataPoint {
    double x;
    double y;
};

然后，我们可以使用一个向量来存储所有的数据点：

std::vector<DataPoint> dataPoints;

用户可以通过键盘输入或从文件中读取数据点，并将它们存储在dataPoints向量中。

2.2 最小二乘法计算

接下来，我们需要实现最小二乘法的计算过程。我们可以定义一个函数leastSquares来执行计算，并将拟合直线的斜率和截距作为输出参数：

void leastSquares(const std::vector<DataPoint>& dataPoints, double& slope, double& intercept) {
    // 计算斜率和截距
    // ...
}

在函数内部，我们可以使用最小二乘法的公式来计算斜率和截距。具体的计算过程可以参考相关的数学资料[1]。

2.3 结果输出

最后，我们可以将拟合直线的斜率和截距输出到屏幕上：

std::cout << "拟合直线的方程为: y = " << slope << "x + " << intercept << std::endl;

简单示例

假设我们有一组散点数据：

P1（1, 3）
P2（2, 5）
P3（3, 7)
P4（4, 9)
P5（5, 11)
P6（6,13 )
P7（7, 15)
P8（8, 17)
P9（9, 19)

我们希望用一条直线来拟合这些数据点，我们可以通过数学方法得到拟合直线的表达式为y = 2x + 1。

现在让我们使用C++来实现这个线性拟合的程序。

代码案例：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <numeric>

using Parameter = struct {
    double k; // 斜率
    double b; // 截距
};

// 最小二乘法计算过程
bool LeastSquares(std::vector<double>& X, std::vector<double>& Y, Parameter& param)
{
    if (X.empty() || Y.empty())
        return false;

    int n = X.size();
    double sumX = std::accumulate(X.begin(), X.end(), 0.0);
    double sumY = std::accumulate(Y.begin(), Y.end(), 0.0);
    double sumXY = 0.0;
    double sumX2 = 0.0;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        sumXY += X[i] * Y[i];
        sumX2 += X[i] * X[i];
    }

    double meanX = sumX / n;
    double meanY = sumY / n;

    param.k = (sumXY - n * meanX * meanY) / (sumX2 - n * meanX * meanX);
    param.b = meanY - param.k * meanX;

    return true;
}

int main()
{
    std::vector<double> X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
    std::vector<double> Y = {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19};
    Parameter param;

    if (LeastSquares(X, Y, param)) {
        std::cout << "拟合直线的方程为: y = " << param.k << "x + " << param.b << std::endl;
    } else {
        std::cout << "拟合失败" << std::endl;
    }

    return 0;
}