数学建模方法 — 【02】模糊综合评价方法
模糊综合评价方法
1. 概念:
根据多个因素对事物进行评定，称为综合评判。在日常生活中，当要对某种东西作出好、较好、不好等评价时，常常感到不易判断。因为这是一个模糊的概念，同时涉及的因素很多，如果运用模糊数学的方法，将可以较好地解决。
2. 模糊合成算子
B = A
∘
\circ
∘ B =
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
m
)
∘
(
b
11
b
12
.
.
.
.
b
1
n
b
21
b
22
.
.
.
b
2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b
m
1
b
m
2
.
.
.
b
m
n
)
(a_1, a_2,...,a_m) \circ\left( \begin{matrix} b_{11} & b_{12}&....& b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & ... & b_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ b_{m1} & b_{m2} & ... & b_{mn} \end{matrix} \right)
(a1,a2,...,am)∘⎝⎜⎜⎛b11b21...bm1b12b22...bm2.............b1nb2n...bmn⎠⎟⎟⎞ =
(
c
1
,
c
2
,
.
.
.
,
c
n
)
(c_1, c_2,...,c_n)
(c1,c2,...,cn)
其中
∘
\circ
∘ 为模糊合成算子
- M(
∧
,
∨
\wedge, \vee
∧,∨)算子
m k = ∨ j = 1 m ( a j ∧ b j k ) = max 1 < j ≤ m { min ( a j , b j k ) } ， m_k =\vee^m_{j=1}(a_j \wedge b_{jk}) = \max\limits_{1<j\leq m}\{\min(a_j , b_{jk})\}， mk=∨j=1m(aj∧bjk)=1<j≤mmax{min(aj,bjk)}， k = 1 , 2... n k=1,2...n k=1,2...n
举 个 栗 子 : 举个栗子: 举个栗子:
(0.3 0.3 0.4) ∘ \circ ∘ ( 0.5 0.3 0.2 0 0.3 0.4 0.2 0.1 0.2 0.2 0.3 0.2 ) \left( \begin{matrix} 0.5 & 0.3 & 0.2 & 0 \\ 0.3 & 0.4 & 0.2 & 0.1 \\ 0.2 & 0.2 & 0.3 & 0.2 \end{matrix} \right) ⎝⎛0.50.30.20.30.40.20.20.20.300.10.2⎠⎞
= (0.3 0.3 0.3 0.2)
- M(
∙
,
∨
\bullet, \vee
∙,∨)算子(
∙
\bullet
∙为点乘)
m k = ∨ j = 1 m ( a j ∙ b j k ) = max 1 < j ≤ m { a j ∙ b j k } ， m_k =\vee^m_{j=1}(a_j \bullet b_{jk}) = \max\limits_{1<j\leq m}\{a_j \bullet b_{jk}\}， mk=∨j=1m(aj∙bjk)=1<j≤mmax{aj∙bjk}， k = 1 , 2... n k=1,2...n k=1,2...n
举 个 栗 子 : 举个栗子: 举个栗子:
(0.3 0.3 0.4) ∘ \circ ∘ ( 0.5 0.3 0.2 0 0.3 0.4 0.2 0.1 0.2 0.2 0.3 0.2 ) \left( \begin{matrix} 0.5 & 0.3 & 0.2 & 0 \\ 0.3 & 0.4 & 0.2 & 0.1 \\ 0.2 & 0.2 & 0.3 & 0.2 \end{matrix} \right) ⎝⎛0.50.30.20.30.40.20.20.20.300.10.2⎠⎞
= (0.15 0.12 0.12 0.08)
- M(
∧
,
⊕
\wedge, \oplus
∧,⊕)算子
m k = min { 1 , ∑ j = 1 m min ( a j , b j k ) } ， m_k = \min\{1, \sum\limits_{j=1}^m{\min(a_j , b_{jk})}\}， mk=min{1,j=1∑mmin(aj,bjk)}， k = 1 , 2... n k=1,2...n k=1,2...n
举 个 栗 子 : 举个栗子: 举个栗子:
(0.3 0.3 0.4) ∘ \circ ∘ ( 0.5 0.3 0.2 0 0.3 0.4 0.2 0.1 0.2 0.2 0.3 0.2 ) \left( \begin{matrix} 0.5 & 0.3 & 0.2 & 0 \\ 0.3 & 0.4 & 0.2 & 0.1 \\ 0.2 & 0.2 & 0.3 & 0.2 \end{matrix} \right) ⎝⎛0.50.30.20.30.40.20.20.20.300.10.2⎠⎞
= (0.08 0.08 0.07 0.03)
- M(
∙
,
⊕
\bullet, \oplus
∙,⊕)算子
m k = min { 1 , ∑ j = 1 m a j ∙ b j k } ， m_k = \min\{1, \sum\limits_{j=1}^m{a_j \bullet b_{jk}}\}， mk=min{1,j=1∑maj∙bjk}， k = 1 , 2... n k=1,2...n k=1,2...n
举 个 栗 子 : 举个栗子: 举个栗子:
(0.3 0.3 0.4) ∘ \circ ∘ ( 0.5 0.3 0.2 0 0.3 0.4 0.2 0.1 0.2 0.2 0.3 0.2 ) \left( \begin{matrix} 0.5 & 0.3 & 0.2 & 0 \\ 0.3 & 0.4 & 0.2 & 0.1 \\ 0.2 & 0.2 & 0.3 & 0.2 \end{matrix} \right) ⎝⎛0.50.30.20.30.40.20.20.20.300.10.2⎠⎞
= (0.08 0.08 0.07 0.03)
总结:
| 特点 | 算子 | |||
| 算子1 | 算子2 | 算子3 | 算子4 | |
| 体现权数作用 | 不明显 | 明显 | 不明显 | 明显 |
| 综合程度 | 弱 | 弱 | 强 | 强 |
| 利用R的信息 | 不充分 | 不充分 | 比较充分 | 充分 |
| 类型 | 主因素突出型 | 主因素突出型 | 加权平均型 | 加权平均型 |
3. 作出综合评价
经过算子后，通过对模糊评判向量B的分析作出综合结论，有三种方法:
- 法一：最大隶属度原则
M = m a x ( b 1 , b 2 , . . . , b n ) M = max(b_1, b_2, ..., b_n) M=max(b1,b2,...,bn) - 法二：加权平均原则
aver = ∑ i = 1 n a ( v i ) ∙ m i k ∑ i = 1 n m i k {{\sum\limits_{i=1}^na(v_i)}\bullet m_i^k \over {\sum\limits_{i=1}^nm_i^k}} i=1∑nmiki=1∑na(vi)∙mik
栗子:
B = (0.3, 0.3, 0.3, 0.2)
评价等级集合为={很好，好，一般，差}，各等级赋值分别为{4，3，2，1}
aver = 4 × 0.3 + 3 × 0.3 + 2 × 0.3 + 1 × 0.2 0.3 + 0.3 + 0.3 + 0.2 = 2.64 {{4\times0.3+3\times0.3+2\times0.3+1\times0.2}\over {0.3+0.3+0.3+0.2}}=2.64 0.3+0.3+0.3+0.24×0.3+3×0.3+2×0.3+1×0.2=2.64 - 法三：模糊向量单值化
c = ∑ i = 1 n c i ∙ m i k ∑ i = 1 n m i k {{\sum\limits_{i=1}^nc_i}\bullet m_i^k \over {\sum\limits_{i=1}^nm_i^k}} i=1∑nmiki=1∑nci∙mik