数学 {罗尔中值定理}
数学 {罗尔中值定理}
罗尔中值定理
定义
条件: 函数满足
C
[
a
,
b
]
C[a,b]
C[a,b],
D
(
a
,
b
)
D(a,b)
D(a,b),
f
(
a
)
=
f
(
b
)
f(a) = f(b)
f(a)=f(b);
结论:
∃
ξ
∈
(
a
,
b
)
,
f
′
(
ξ
)
=
0
\exist \xi \in (a,b), f'(\xi) = 0
∃ξ∈(a,b),f′(ξ)=0;
@DELI;
#证明#
由极值定理, 函数在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上一定取到最大值
M
A
MA
MA与最小值
M
I
MI
MI;
@IF( MI=MA): 函数在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上是常函数, 故
∀
x
∈
(
a
,
b
)
\forall x \in (a,b)
∀x∈(a,b) 都有
f
′
(
x
)
=
0
f'(x) = 0
f′(x)=0;
@ELSE: {MI, MA}中至少有一个不等于
f
(
a
)
f(a)
f(a), 不妨设
M
A
≠
f
(
a
)
MA \neq f(a)
MA=f(a)(若
M
I
≠
f
(
a
)
MI \neq f(a)
MI=f(a), 证明类似), 设函数在
x
0
∈
(
a
,
b
)
x_0 \in (a,b)
x0∈(a,b)处取到最大值MA, 根据费马引理
f
′
(
x
0
)
=
0
f'(x_0) = 0
f′(x0)=0;
错误
#罗尔定理得到的驻点, 不一定是极值点#
. 很简单, 因为驻点不一定是极值点 比如
x
3
x^3
x3的0处是驻点 但不是极值点;
想象一个函数
f
(
x
)
f(x)
f(x):
.
f
(
[
π
/
2
,
π
]
)
=
−
1
∗
s
i
n
(
[
π
/
2
,
π
]
)
f( [\pi/2, \pi]) = -1 * sin([\pi/2, \pi])
f([π/2,π])=−1∗sin([π/2,π]);
.
f
(
[
−
π
,
π
/
2
]
)
=
s
i
n
(
[
−
π
,
π
/
2
]
)
f([-\pi, \pi/2]) = sin([ -\pi, \pi/2])
f([−π,π/2])=sin([−π,π/2]); (函数在
π
/
2
\pi/2
π/2处的导数为0 LINK: (https://editor.csdn.net/md/?articleId=129194272)-(@LOC_1));
. 从
−
π
-\pi
−π处 向左画一条斜率为
−
1
-1
−1的直线, 令
L
<
0
L<0
L<0满足
f
(
L
)
=
f
(
π
)
f(L) = f(\pi)
f(L)=f(π), 则该函数
C
[
L
,
π
]
,
D
(
L
,
π
)
C[L, \pi], D(L, \pi)
C[L,π],D(L,π), 有两个驻点
−
π
/
2
,
π
/
2
-\pi / 2, \pi/2
−π/2,π/2, 但
π
/
2
\pi/2
π/2不是极值点;