图像二值化阈值调整——OTSU算法（大津法/最大类间方差法）

大津算法（OTSU算法）是一种常用的图像二值化方法，用于将灰度图像转化为二值图像。该算法由日本学者大津展之于1979年提出，因此得名。

大津算法的核心思想是通过寻找一个阈值，将图像的像素分为两个类别：前景和背景。具体步骤如下：

统计图像的灰度直方图，得到每个灰度级的像素数目。
遍历所有可能的阈值（0到255），计算根据该阈值将图像分为前景和背景的类内方差。
根据类内方差的最小值确定最佳阈值。

在大津算法中，类内方差是衡量前景和背景之间差异的度量。通过选择使类内方差最小的阈值，可以实现最佳的图像分割效果。

大津算法的优点是简单易懂，计算效率高。它适用于灰度图像的二值化处理，特别是对于具有双峰直方图的图像效果更好。然而，该算法对于具有非双峰直方图的图像可能产生较差的分割结果。因此，在应用大津算法之前，需要对图像的直方图进行分析，确保适用性。

大津算法在图像处理中被广泛应用，例如在文档图像处理、目标检测、图像分割等领域。

下面推导类间方差函数：

设阈值为灰度k（ $k\in \left [ 0,L-1 \right ],L=256$ ）。这个阈值把图像像素分割成两类，C1类像素小于等于k，C2类像素大于k。设这两类像素各自的均值为 m_1,m_2 ，图像全局均值为 m_G 。同时像素被分为C1和C2类的概率分别为 p_1,p_2 。则有：

p_1m_1+p_2m_2=m_G

p_1+p_2=1

根据方差的概念，类间方差表达式为：

$\sigma ^2=p_1\left ( m_1-m_G \right )^2+p_2\left ( m_2-m_G \right )^2$

展开：

$\sigma ^2=p_1m_1^2+p_1m_G^2-2p_1m_1m_G+p_2m_2^2+p_2m_G^2-2p_2m_2m_G$

合并2，5及3，6项可得：

$\sigma ^2=p_1m_1^2+p_2m_2^2+m_G^2-2m_G^2=p_1m_1^2+p_2m_2^2-m_G^2$

我们再把 m_G=p_1m_1+p_2m_2 代回得到：

$\sigma ^2=(p_1-p_1^2)m_1^2+(p_2-p_2^2)m_2^2-2p_1p_2m_1m_2$

再注意到 p_1+p_2=1 ，所以 p_1-p_1^2=p_1(1-p_1)=p_1p_2 ， p_2-p_2^2=p_2(1-p_2)=p_1p_2 ，从而得到：

$\sigma ^2=p_1p_2(m_1-m_2)^2$

对于给定的阈值k，我们可以统计出灰度级的分布列：

灰度值	0	1	...	255
			...	$p_{255}$

显然根据分布列性质有 $\sum_{i=0}^{L-1}p_i=1$ （请注意这里的 p_1,p_2 是分布列中的，不是上面的定义）

那么有：

$p_1=\sum_{i=0}^{k-1}p_i,p_2=\sum_{i=k}^{L-1}p_i,m_1=\sum_{i=0}^{k-1}ip_i,m_2=\sum_{i=k}^{L-1}ip_i$

将k从 $\left [ 0,L-1 \right ]$ 遍历，找出使得 $\sigma ^2$ 最大的k值，这个k值就是阈值。

对于分割，这个分割就是二值化，OpenCV给了以下几种方式（同threshold）：

cv2帮助文档：

Miscellaneous Image Transformations — OpenCV 3.0.0-dev documentationhttps://docs.opencv.org/3.0-last-rst/modules/imgproc/doc/miscellaneous_transformations.html?highlight=threshold#threshold代码实现：

首先是原理部分的实现，这部分我们使用numpy：

import cv2
import numpy as np

def OTSU(img_gray, GrayScale):
    assert img_gray.ndim == 2, "must input a gary_img"  # shape有几个数字, ndim就是多少
    img_gray = np.array(img_gray).ravel().astype(np.uint8)
    u1 = 0.0  # 背景像素的平均灰度值
    u2 = 0.0  # 前景像素的平均灰度值
    th = 0.0

    # 总的像素数目
    PixSum = img_gray.size
    # 各个灰度值的像素数目
    PixCount = np.zeros(GrayScale)
    # 各灰度值所占总像素数的比例
    PixRate = np.zeros(GrayScale)
    # 统计各个灰度值的像素个数
    for i in range(PixSum):
        # 默认灰度图像的像素值范围为GrayScale
        Pixvalue = img_gray[i]
        PixCount[Pixvalue] = PixCount[Pixvalue] + 1

    # 确定各个灰度值对应的像素点的个数在所有的像素点中的比例。
    for j in range(GrayScale):
        PixRate[j] = PixCount[j] * 1.0 / PixSum
    Max_var = 0
    # 确定最大类间方差对应的阈值
    for i in range(1, GrayScale):  # 从1开始是为了避免w1为0.
        u1_tem = 0.0
        u2_tem = 0.0
        # 背景像素的比列
        w1 = np.sum(PixRate[:i])
        # 前景像素的比例
        w2 = 1.0 - w1
        if w1 == 0 or w2 == 0:
            pass
        else:  # 背景像素的平均灰度值
            for m in range(i):
                u1_tem = u1_tem + PixRate[m] * m
            u1 = u1_tem * 1.0 / w1
            # 前景像素的平均灰度值
            for n in range(i, GrayScale):
                u2_tem = u2_tem + PixRate[n] * n
            u2 = u2_tem / w2
            # print(u1)
            # 类间方差公式：G=w1*w2*(u1-u2)**2
            tem_var = w1 * w2 * np.power((u1 - u2), 2)
            # print(tem_var)
            # 判断当前类间方差是否为最大值。
            if Max_var < tem_var:
                Max_var = tem_var  # 深拷贝，Max_var与tem_var占用不同的内存空间。
                th = i
    return th

def main():
    img = cv2.imread('6.jpg', 0)
    # 将图片转为灰度图
    th = OTSU(img, 256)
    print("使用numpy的方法：" + str(th))  # 结果为 136

main()

然后是基于cv2的OTSU实现，cv2可直接指定使用：

import cv2
import matplotlib.pylab as plt

def main2():
    img = cv2.imread('6.jpg', 0)
    ret, thresh1 = cv2.threshold(img, 0, 255, cv2.THRESH_OTSU)
    print(ret)  # 结果是135.0

    titles = ['Original Image', 'After Binarization']
    images = [img, thresh1]

    for i in range(2):
        plt.subplot(1, 2, i+1)
        plt.imshow(images[i], 'gray')
        plt.title(titles[i])
        plt.xticks([])
        plt.yticks([])

    plt.show()

main2()