特征值和特征向量

定义

找到向量$\vec{x}$使得，
$$\mathbf{A}\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$$
则称$\vec{x}$为矩阵A的特征向量，$\lambda$为特征值。
上式表明矩阵A作用与$\vec{x}$不改变其方向，只改变其大小。

求解

$$(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})\mathbf{x}=0$$
有非零解，则$det(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})=0$。
求解$\lambda$,将$\lambda$带入上式方程求解特征向量$\vec{x}$。

相关定理

• 特征值的和等于对角线元素和，即矩阵的迹。
• 特征值之积等于矩阵行列式。
• 对称阵求得的特征值均为实数，反对称阵求得的特征值均为纯虚数。二者之间则有实有续。

矩阵对角化

$${\mathbf{S}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{S}=\mathbf{\Lambda }$$